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Serlo
Übersicht aller Artikel zu Funktionen
Grenzwerte, Stetigkeit und Differenzierbarkeit
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Serlo

Den Differentialquotient an einer Stelle x_0 erhält man durch Grenzwertbildung des Differenzenquotienten: lim_{x to x_0} frac{f(x)-f(x_0)}{x - x_0}. Man betrachtet also jeweils die Steigung der Sekanten zwischen den Punkten P left(x,f(x) right) und ...

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Satz Sei f: [a,b] to mathbf ? eine stetige Funktion. Sei f(a) 0 und f(b)<0 so gibt es in [a,b] eine Nullstelle von f. AnschaulichInjection TitleInjection TitleVerallgemeinerung Sei f:[a,b] to mathbf ? eine stetige Funktion, die auf einem Intervall ...

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Gemäß der allgemeinen Definition der Stetigkeit einer Funktion f ist folgende Gleichungskette zu zeigen: f(x_0)= lim_{x rightarrow x_{0^-}}{f(x)}= lim_{x rightarrow x_{0^+}}{f(x)}  Dabei betrachtet man bei x_{0^-} die Funktion auf der linken Seite von x_{0} und bei ...

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Eine Sprungstelle ist eine Stelle x_0, an der der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert unterschiedlich sind.Eine SprungstelleBeispiel Die Funktion in der Abbildung hat den ...

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Die h-Methode ist eine andere Interpretation des Differentialquotienten. Anstatt x gegen x_0 laufen zu lassen, lässt man diesmal den Abstand h = x - x_0 zu x_0 gegen 0 laufen: f' left(x right)= lim_{h to 0} frac{f(x+h)-f(x)}{h}. Damit lässt sich die Ableitung an der ...

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Die Regel von L'Hospital ist ein Hilfsmittel zum Berechnen von Grenzwerten bei Brüchen frac{f}{g} von Funktionen f und g, wenn Zähler und Nenner entweder beide gegen 0 oder beide gegen (+ oder -) unendlich gehen. Wenn in einem solchen Fall auch der Grenzwert des Bruches der ...

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Der Differenzenquotient zwischen zwei Stellen x_1 und x_2 beschreibt die Steigung der Sekanten zwischen den Punkten P left(x_1 mid f(x_1) right) und Q left(x_2 mid f(x_2) right): frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2 - x_1}. Durch Grenzwertbildung erhält man den ...

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Differenzierbarkeit ist eine Eigenschaft von Funktionen, die darüber Auskunft gibt ob und wo sich eine Funktion ableiten lässt. Eine Funktion f heißt differenzierbar an einer Stelle x_0 ihres Definitionsbereichs, falls der Differentialquotient existiert: lim_{x to x_0} ...