Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (kurz HDI) oder Fundamentalsatz der Analysis führt die Berechnung bestimmter Integrale auf die Berechnung unbestimmter Integrale (also auf die Ermittlung von Stammfunktionen) zurück. Unter der Voraussetzung, dass F(x) eine ...
Das Integral selbst ist nur ein Zahlenwert. Eine Integralfunktion ist eine Funktion, die den orientierten Flächeninhalt zwischen einer Funktion f und der x-Achse von einer gegebenen Stelle a bis zur Stelle x angibt. F(x) = int_a^x f(t) operatorname{d}tIntegralfunktion ...
Den Wert eines bestimmten Integrals über eine Funktion f berechnet man, indem man ihre Stammfunktion an den beiden Integrationsgrenzen auswertet und die Differenz der der beiden bildet ("obere Grenze minus untere Grenze"). Die Konstante C, die in der allgemeinen Stammfunktion steht, ...
Der Hauptunterschied zwischen einem bestimmten und einem unbestimmen Integral ist das Vorhandensein (bestimmtes Integral) bzw. Fehlen (unbestimmtes Integral) der Integrationsgrenzen. Bei einem bestimmten Integral ist die Lösung ein einfacher Zahlenwert. Bei einem unbestimmten Integral ...
Das bestimmte Integral liefert einen Zahlenwert, der die orientierte Fläche zwischen einem Graphen und der x-Achse in einem bestimmten Intervall angibt. Orientiert bedeutet, dass Flächen oberhalb der x-Achse positiv gewertet werden und Flächen unterhalb der x-Achse negativ. Das ...
(nach einer Abituraufgabe von 2012)
a) Begründe, dass jede Integralfunktion mindestens eine Nullstelle hat.
b) Gib einen Term für eine Funktion %%f%% an, sodass die Integralfunktion %%\displaystyle f: x \mapsto \int_{1}^x f(t)\operatorname{d}t%% unendlich viele Nullstellen hat.
Was kann man über die %%f%% sagen, wenn man weiß:
a) %%\int_0^1f(x)\mathrm{d}x=0%%
b) %%\int_0^1f(x)\mathrm{d}x0%%
c) %%\int_0^1f(x)\mathrm{d}x<0%%
d) %%\int_1^0f(x)\mathrm{d}x0%%
Berechne die Integrale: %%a(x)=6-\frac{1}{24}x^2\ ;\ D_a=\mathbb{R}%%
a) %%\int_0^{12}a(x)\mathrm{d}x%%
b) %%\int_{-12}^{12}a(x)\mathrm{d}x%%
c) %%\int_0^{12\sqrt3}a(x)\mathrm{d}x%%
Begründe, warum es kein %%\mathrm k\in \mathbb{R}^+%% gibt, das folgende Geichung erfüllt:
%%\int_0^\mathrm k x^2+1\ \mathrm{d}x=-1%%
Es kann vorkommen, dass eine Fläche unter einem Funktionsgraphen betrachtet wird, die in einer Richtung unbeschränkt ist. Dies ist dann der Fall, wenn die Funktion an mindestens einer Integralgrenze nicht definiert ist. Solche Integrale nennt man uneigentliche Integrale und berechnet man ...