Eine Polstelle oder Unendlichkeitstelle ist eine Definitionslücke einer Funktion, in deren Nähe die Funktionswerte gegen unendlich laufen. Durch die Polstelle verläuft eine Gerade, an die sich der Funktionsgraph annähert: die Asymptote . Pole betrachtet man vorallem bei ...
(Volumenberechungen mit Integralen) In der Schule lernst du das Berechnen von Flächen mittels Integralen kennen. Das Gleiche funktioniert aber auch eine Dimension höher. In Abbildung 1 siehst du einen Quader in einem dreidimensionalen Koordinatensystem. Es gilt für die Koordinaten: ...
(Taylorentwicklung) Im Gegensatz zur Schulmathematik, bei der meist nur die ersten drei Ableitungen nützlich sind, gibt es auch Anwendungsgebiete in der Mathematik, bei denen du beliebig viele Ableitungen brauchen kannst. Eine solche Anwendung ist die sogenannte Taylorentwicklung von ...
Gegeben ist die Funktion %%g: x \mapsto \sqrt{\dfrac{x-1}{4}}-1%%.
Erkläre, wie der Funktionsterm %%g(x)%% aus %%h(x)=\sqrt{x}%% entstanden ist.
Gib den Term einer nicht-linearen Funktion %%f%% an, für die gilt: %%|f(x)| \leq |x| ~~\forall x \in \mathbb{R}%%. Mache deine Wahl plausibel.
Für jedes a in mathbb{R} ist die Funktion f_a definiert durch f_a(x)= e^{-ax}+e^{ax}. a) Begründe, dass die Funktionenschar f_a den gemeinsamen Punkt P(0|2) besitzt. b) Begründe außerdem ohne abzuleiten, dass P ein globales Minimum ist. Als mögliche ...
Gegeben ist der Graph G_f einer integrierbaren Funktion f. a) Bestimme graphisch näherungsweise den Flächeninhalt, den die Funktion mit der x-Achse einschließt. b) Gib näherungsweise zwei Nullstellen der Integralfunktion displaystyle F: x mapsto int_{-1}^x ...
(nach einer Abituraufgabe von 2012)
a) Begründe, dass jede Integralfunktion mindestens eine Nullstelle hat.
b) Gib einen Term für eine Funktion %%f%% an, sodass die Integralfunktion %%\displaystyle f: x \mapsto \int_{1}^x f(t)\operatorname{d}t%% unendlich viele Nullstellen hat.
(Stetig) hebbare oder behebbare Definitionslücken können bei gebrochen-rationalen Funktionen vorkommen. Es gibt eine hebbare Definitionslücke bei x_0 , falls x_0 Nullstelle des Zählers und des Nenners ist und die Vielfachheit im Zähler größer ist als die im Nenner oder die ...