Eine Extremwertaufgabe ist eine Problem- oder Fragestellung, bei der etwas unter einer bestimmten Bedingung maximiert, oder minimiert werden soll. Typische Fragestellungen Forme aus einem 20 mathrm{cm} langen Draht ein Rechteck mit maximalem Flächeninhalt. Aus einer Holzplatte von der ...
Die Umkehrfunktion einer Funktion f ist die Funktion f^{-1} , die jedem Funktionswert sein Argument zuordnet:f^{-1} left(f(x) right)=x und f left(f^{-1}(x) right)=xSie existiert nur, wenn jeder Wert in der Wertemenge höchstens einmal "getroffen" wird (wenn jede Parallele ...
Die Integration mit Substitution ist eine Integrationstechnik, die sich zunutze macht, dass nach der Kettenregel int limits_a^bf left(g left(x right) right)g' left(x right) mathrm{dx}= int limits_{g left(a right)}^{g left(b right)}f left(z right) mathrm{dz} gilt. Voraussetzungen Steht ...
Zählergrad Unter dem Zählergrad einer Funktion versteht man die höchste Potenz einer Funktion, die im Zähler vorkommt. Ist die Funktion zum Beispiel frac{x^3+5x^2}{x+4}, so ist der Zählergrad 3, da x^3 die höchste Potenz ist. Nennergrad Unter dem Nennergrad einer ...
Die Ableitung einer Umkehrfunktion lässt sich mithilfe der folgenden Formel bestimmen: (f^{-1})'(x)= frac1{f ;'(f^{-1}(x))}Beispiel 1 Bestimmung der Ableitung von ln(x): ln(x) ist die Umkehrfunktion von e^x, d.h. hier ist f(x)=e^x und f^{-1}(x)= ln(x) Da dann ...
Die Produktregel ist eine Regel für das Ableiten von Produkten zweier differenzierbarer Funktionen u und v: big(u(x) cdot v(x) big)'=u'(x) cdot v(x)+u(x) cdot v'(x) Beispiel Die Ableitung der Funktion f(x) = sqrt{x} cdot sin(x) berechnet sich mit der Produktregel ...
Die Quotientenregel bietet eine Möglichkeit, die Ableitung eines Quotienten zweier differenzierbarer Funktionen u und v zu berechnen: left( frac{u(x)}{v(x)} right)'= frac{u'(x) cdot v(x)-u(x) cdot v'(x)}{(v(x))^2} Merkregel "NAZ minus ZAN" Als Merkregel für den Zähler lässt ...
Die Summenregel besagt, dass die Ableitung der Summe zweier differenzierbarer Funktionen %%u%% und %%v%% gleich der Summe ihrer Ableitungen ist:
$$\big(u(x)+v(x)\big)'=u'(x)+ v'(x)$$
Beispiel
$$(x+e^x)'=(x)'+ (e^x)'=1+e^x$$
Die Kettenregel bildet eine Möglichkeit, die Ableitung der Verkettung zweier differenzierbarer Funktionen u und v auszurechnen: big(u(v(x)) big)'=u'(v(x)) cdot v'(x). Das Multiplizieren mit v'(x) heißt auch Nachdifferenzieren. Um die Ableitung der Verkettung von u und ...
Die partielle Integration ist eine Methode zur Integration bestimmter Produkte zweier Funktionen. Man wendet sie oft an, wenn in einem Integral das Produkt zweier Funktionen steht, von denen die eine einfach zu integrieren und die andere leicht abzuleiten ist. Sie ergibt sich aus der ...